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Árvores frutíferas

Um agricultor tem um terreno de 640m² destinado ao cultivo de árvores frutíferas: laranjeiras, pereiras, macieiras e limoeiros. Pergunta-se: como se deve dividir a superfície do terreno, entre as variedades, para obter o maior benefício, sabendo que:

• cada laranjeira necessita no mínimo de 16m², cada pereira necessita de 4m², cada macieira de 8m² e cada limoeiro de 12m².
• dispondo de 900 horas de trabalho ao ano e, necessitando de 30 horas ao ano para cada laranjeira, 5 horas para cada pereira, 10 horas para cada macieira e 20 horas para cada limoeiro.
• por causa da seca, o agricultor tem restrições para a irrigação: foram estabelecidos para este fim 200m³ de água anuais. As necessidades anuais são de 2m³ para cada laranjeira, 1m³ para cada pereira, 1m³ para cada macieira e, 2m³ para cada limoeiro.
• os benefícios unitários são 50, 25, 20 e 30 € por cada laranjeira, pereira, macieira e limoeiro, respectivamente.

 

Determinar as variáveis de decisão e expressá-las algebricamente. Neste caso:

• X1: número de laranjeiras
• X2: número de pereiras
• X3: número de macieiras
• X4: número de limoeiros

Determinar as restrições e expressá-las como equações ou inequações dependentes das variáveis de decisão. Tais restrições são deduzidas das necessidades de cada árvore no terreno, horas de trabalho anuais e, necessidades de irrigação:

• Necessidades do terreno: 16·X1 + 4·X2 + 8·X3 + 12·X4 ≤ 640
• Necessidades de horas de trabalho anuais: 30·X1 + 5·X2 + 10·X3 + 20·X4 ≤ 900
• Necessidades de irrigação: 2·X1 + 3·X2 + X3 + 2·X4 ≤ 200

Expressar todas as condições estabelecidas implicitamente pela natureza das variáveis: que não possam ser negativas, que sejam inteiras, que somente possam ter determinados valores, ... Neste caso, as restrições são, que o número de árvores não pode ser negativo e deve ser um número inteiro:

• Xi ≥ 0
• Xi são inteiros

Determinar a função objetivo:

• Maximizar Z = 50·X1 + 25·X2 + 20·X3 + 30·X4

Resolver com PHPSimplex.