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Localização

Uma empresa tem a distribuição exclusiva de um produto em 4 cidades. Em um estudo de mercado determinou-se a demanda potencial, segundo é demonstrado na tabela seguinte:

Cidade 1	Cidade 2	Cidade 3	Cidade 4
3000 unidades	2000 unidades	2500 unidades	2700 unidades

Sabe-se que os custos de transporte são 0,02 € por Km e unidade transportada. Na tabela seguinte, está contida a distância em Km existente entre as cidades:

	Cidade 1	Cidade 2	Cidade 3	Cidade 4
Cidade 1	-	25	35	40
Cidade 2	25	-	20	40
Cidade 3	35	20	-	30
Cidade 4	40	40	30	-

Para reduzir os custos de transporte, foi decidido instalar um depósito com capacidade para 6.000 unidades em duas destas quatro cidades. Determinar em quais cidades devem ser instalados os depósitos.

 

Determinar as variáveis de decisão e expressá-las algebricamente. Neste caso:

• Xij: quantidade enviada do depósito i para a cidade j
• Yi: depósito situado na cidade i (0 indica que não há nenhum depósito e 1 que há depósito)

Determinar as restrições e expressá-las como equações ou inequações dependentes das variáveis de decisão. Estas restrições são deduzidas da seguinte forma:

• As unidades que são enviadas para cada cidade a partir dos depósitos devem atender à demanda dessa cidade:
  
  
  • X11 + X21 + X31 + X41 ≥ 3000
  • X12 + X22 + X32 + X42 ≥ 2000
  • X13 + X23 + X33 + X43 ≥ 2500
  • X14 + X24 + X34 + X44 ≥ 2700
  
  
• Somente serão criados dois depósitos:
  
  
  • Y1 + Y2 + Y3 + Y4 = 2
  
  
• O número de unidades que pode enviar cada depósito deve ser menor ou igual à sua capacidade:
  
  
  • X11 + X12 + X13 + X14 ≤ 6000·Y1
  • X21 + X22 + X23 + X24 ≤ 6000·Y2
  • X31 + X32 + X33 + X34 ≤ 6000·Y3
  • X41 + X42 + X43 + X44 ≤ 6000·Y4

Expressar todas as condições estabelecidas implicitamente pela natureza das variáveis: que não possam ser negativas, que sejam inteiras, que somente possam ter determinados valores, ... Neste caso, as restrições são, que as unidades enviadas de cada depósito não podem ser negativas e, além disto, a variável que determina se será criado ou não um depósito deve ser booleana (0 indica que não será criado, 1 que será criado):

• Xij ≥ 0
• Yi são booleanos

Determinar a função objetivo:

• Minimizar Z = 0.5·X12 + 0.7·X13 + 0.8·X14 + 0.5·X21 + 0.4·X23 + 0.8·X24 + 0.7·X31 + 0.4·X32 + 0.6·X34 + 0.8·X41 + 0.8·X42 + 0.6·X43