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Problema da dieta

O problema da dieta foi um dos primeiros sobre otimização. George Joseph Stigler, no final da década de 30, levantou o problema da dieta ideal para tentar satisfazer a preocupação do exército americano, que procurava a maneira mais econômica de alimentar as suas tropas, garantindo ao mesmo tempo, certos requisitos nutricionais.

Este tipo de problema pode ser enfocado de diferentes formas, tais como: minimizar os custos de aquisição, dieta para o gado, dieta de emagrecimento que atenda a determinados níveis de calorias, proteínas, hidratos de carbono, ...

Exemplo

Propõe-se alimentar o gado de uma fazenda com a dieta mais econômica. Tal dieta deve conter quatro tipos de nutrientes identificados como: A, B, C e D. Estes componentes encontram-se em dois tipos de ração: M e N. A quantidade, em gramas, de cada componente por quilo destes alimentos para animais é dada na tabela a seguir:

	A	B	C	D
M	100	-	100	200
N	-	100	200	100

A dieta diária de um animal deve ser composta por pelo menos 0,4 Kg do componente A, 0,6 Kg do componente B, 2 Kg do componente C, e 1,7 Kg do componente D. O composto M custa 0,2 €/Kg e o composto N custa 0,08 €/Kg. Qual é a quantidade que deve ser adquirida de ração M e N para que o gasto em alimentos seja o menor possível?

 

Pretende-se misturar os tipos de rações para obter uma dieta equilibrada contendo as quantidades diárias recomendadas de cada nutriente para os animais.

Determinar as variáveis de decisão e expressá-las algebricamente. Neste caso:

• X1: quantidade de ração M em Kg
• X2: quantidade de ração N em Kg

Determinar as restrições e expressá-las como equações ou inequações dependentes das variáveis de decisão. Tais restrições são deduzidas da composição necessária para a dieta diária (em Kg):

• Componente A: 0.1·X1 + 0·X2 ≥ 0.4
• Componente B: 0·X1 + 0.1·X2 ≥ 0.6
• Componente C: 0.1·X1 + 0.2·X2 ≥ 2
• Componente D: 0.2·X1 + 0.1·X2 ≥ 1.7

Expressar todas as condições estabelecidas implicitamente pela natureza das variáveis: que não possam ser negativas, que sejam inteiras, que somente possam ter determinados valores, ... Neste caso, a única restrição é que as quantidades de ração que fazem parte da dieta não podem ser negativas:

• X1 ≥ 0
• X2 ≥ 0

Determinar a função objetivo:

• Minimizar Z = 0.2·X1 + 0.08·X2

Resolver com PHPSimplex.