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Problema de la dieta

El problema de la dieta fue uno de los primeros sobre optimización. George Joseph Stigler planteó, a finales de la década de los años 30, el problema de régimen alimenticio óptimal para tratar de satisfacer la preocupación del ejército americano por hallar la manera más económica de alimentar a sus tropas asegurando al mismo tiempo unos determinados requerimientos nutricionales.

Este tipo de problema se puede plantear en distintas formas tales como minimizar los gastos de la compra, dieta para el ganado, una dieta adelgazante que cumpla unos determinados niveles de calorías, proteínas, hidratos de carbono, ...

Ejemplo

Se propone alimentar el ganado de una granja con la dieta más económica posible. Dicha dieta debe contener cuatro tipos de nutrientes identificados como A, B, C, y D. Estos componentes se encuentran en dos tipos de piensos M y N. La cantidad, en gramos, de cada componente por kilo de estos piensos viene dada en la tabla siguiente:

	A	B	C	D
M	100	-	100	200
N	-	100	200	100

La dieta diaria de un animal debe estar compuesta por al menos 0.4Kg del componente A, 0.6Kg del componente B, 2Kg del componente C, y 1.7Kg del componente D. El compuesto M cuesta 0.2€/Kg y el compuesto N 0.08€/Kg. ¿Qué cantidades de piensos M y N se deben adquirir para que el gasto en comida sea el menor posible?

 

Se pretende mezclar los tipos de pienso para obtener una dieta equilibrada que contenga las cantidades diarias recomendadas de cada nutriente para los animales.

Determinar las variables de decisión y expresarlas algebraicamente. En este caso:

• X1: cantidad de pienso M en Kg
• X2: cantidad de pienso N en Kg

Determinar las restricciones y expresarlas como ecuaciones o inecuaciones dependientes de las variables de decisión. Dichas restricciones se deducen de la composición requerida para la dieta diaria (en Kg):

• Componente A: 0.1·X1 + 0·X2 ≥ 0.4
• Componente B: 0·X1 + 0.1·X2 ≥ 0.6
• Componente C: 0.1·X1 + 0.2·X2 ≥ 2
• Componente D: 0.2·X1 + 0.1·X2 ≥ 1.7

Expresar todas las condiciones implícitamente establecidas por la naturaleza de las variables: que no puedan ser negativas, que sean enteras, que solo puedan tomar determinados valores, ... En este caso, la única restricción es que las cantidades de pienso que forman la dieta no pueden ser negativas:

• X1 ≥ 0
• X2 ≥ 0

Determinar la función objetivo:

• Minimizar Z = 0.2·X1 + 0.08·X2

Resolver con PHPSimplex.